АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ Н3
Описание работы
Работа пользователя Vseznayka1995
Добрый день! Уважаемые студенты, Вашему вниманию представляется курсовая работа на тему: «АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ Н3»
Оригинальность работы 90%
Введение.
«Я думaю, что никогдa до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вoкруг – геометрия». Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Карбюзье в начале XX века, очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. [21]
Геометрия - наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение
геометрических фигур. Она возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Постепенно создавалась геометрическая наука. Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. В своей книге Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников. Он описывает структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра, додекаэдра в данном порядке. Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. С древнейших времен представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.
Цель выпускной квалификационной работы – найти 120 элементов группы симметрий икосаэдра и определить условия замкнутости базисных алгебраических поверхностей конечной группы симметрии H_3.
Задачи предоставленной работы определены поставленной целью и включают следующие:
- изучение платоновых тел и их симметрии;
- исследование ортогональной симметрии икосаэдра;
- нахождение замкнутости базисных поверхностей группы H_3.
Объект исследования – икосаэдр, его группа симметрий H_3 и поверхности инвариантные относительно группы H_3.
Работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников литературы. В первой главе рассматривается история и понятие многогранников. Вторая глава посвящается изучению Платоновых тел. В третьей главе приведены основные понятия алгебры. В четвёртой главе рассмотрена симметрия Платоновых тел. В пятой главе подробно исследуется ортогональная симметрия икосаэдра и находятся все элементов группы симметрий икосаэдра. В шестой главе находятся достаточные условия замкнутости базисных поверхностей группы H_3. В заключении подводятся итоги исследования. В списке литературы приведены источники, которые использованы при написании работы. Приложения объясняют и вносят дополнения в основной текст работы.
В работе были использованы данные учебных пособий, периодическая литература в сфере алгебры и геометрии.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………….4
Глава1. История и понятие многогранников. ………………………………………..6
Глава 2. Платоновы тела ……………………………………………........................13
§1. Тетраэдр…………………………………………………………………………13
§2. Куб……………………………………………………………………………….14
§3. Октаэдр………………………………………………………………………….16
§4. Икосаэдр………………………………………………………………………...16
§5. Додекаэдр……………………………………………………………………….18
Глава 3.Основные понятия алгебры ………………………………………………..19
§1. Поле ……………………………………………………………………………...19
§2. Линейное пространство.. ……………………………………………………….20
§3. Евклидово пространство. . ……………………………………………………...21
§4. Группа. …………………………………………………………………………..22
§5. Кольцо. …………………………………………………………………………..23
§6. Алгебра. …………………………………………………………………………24
§7. Идеал. ……………………………………………………………………………25
§8. Инвариант. ………………………………………………………………………26
Глава 4. Симметрия платоновых тел. ……………………………………………...27
Глава 5. Ортогональная симметрия ………………………………………………..34
§1. Отражение………………………………………………………………………34
§2. Золотое сечение………………………………………………………………..37
§3. Элементы группы H_3 ……………………………………………………………41
Глава 6. Замкнутость базисных поверхностей ………………………………...248
Заключение………………………………………………………………………...262
Список использованных источников…………………………………………….263
Приложение 1. Картина Сальвадора Дали "Тайная вечеря"………………….265
Приложение 2. Базисные поверхности шестого порядка……………..…………..266
Приложение 3. Базисные поверхности десятого порядка..………………….........269
Список использованных источников.
Аржанцев И. В. Градуированные алгебры и 14-я проблема Гильберта: Учебное пособие. — М.: МЦНМО, 2009. — 64 с.
Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников//Библиотека «Математическое просвещение», 2000.Выпуск 5.Приложение.— 27-29 с.
Игнатенко В.Ф. Геометрия алгебраических поверхностях с симметриями. Итоги науки и техники. Сер. Пробл. Геом. 11.,1980. — 203-240 с.
Игнатенко В.Ф. Об инвариантах конечных групп, порожденных отражениями, Матем. сб.120(162), № 4,1983. — 556–568 с.
Игнатенко В.Ф. Некоторые вопросы геометрической теории инвариантов групп, порожденных ортогональными и косыми отражениями. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. Геом. 16.,1984. — 195-229 с.
Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решение уравнений пятой степени. — М., Наука,1989. — 336 с.
Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М., Наука, 1966. — 648 с.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). — М: Высшая школа, 1983. —159-160 с.
Ларин С. В. Алгебра и теория чисел. Группы, кольца и поля : учебное пособие для академического бакалавриата / С. В. Ларин. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 160 с.
Смирнов Е. Ю. Группы отражений и правильные многогранники.–– М.: МЦНМО, 2009. –– 48 с.
Терновский В.А, Бичулова М.С. Замкнутость базисных поверхностей, инвариантных относительно групп A_3 и B_3. Динамические системы, 2019, том 9(37), №1, 67-72 с.
Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра:учеб.пособие/А.Е.Умнов.- 3-е изд.,испр. и доп. — М.:МФТИ,2011. —544 с.
Flatto L., Regular holytopes and harmonic polynomials. Canad. J. Math.,1970. — 22 с.,7-21с.
https://videouroki.net/video/31-eliemienty-simmietrii-pravil-nykh-mnoghoghrannikov.html
http:///encicl/articles/15/1001550/1001550A.html
http://pravmn.narod.ru/tetr.html
http://pravmn.narod.ru/kub.html
18.http://pravmn.narod.ru/okto.html
19.http://pravmn.narod.ru/icos.html
20.http://pravmn.narod.ru/dod.html
21.https://infourok.ru/issledovatelskiy-referat-na-temu-v-mire-mnogogrannikov- 1169630.html
22.http://mathscinet.ru/files/StaxovAA.pdf
Заключение.
В дипломной работе подробно изучено строение всех Платоновых тел. Найдены в явном виде элементы группы симметрий икосаэдра: 30 второго порядка, 29 третьего порядка и 60 пятого порядка. Продолжена, начатая в [11], работа по изучению строения базисных поверхностей инвариантных относительно конечных групп отражений в трехмерном евклидовом пространстве. Найдены достаточные условия замкнутости базисных поверхностей шестой и десятой степени алгебры инвариантов группы симметрии икосаэдра. В приложении 2 и 3 поверхности построены с помощью программы Surface и сайта https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/3d/.
Оригинальность работы 90%
Введение.
«Я думaю, что никогдa до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вoкруг – геометрия». Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Карбюзье в начале XX века, очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. [21]
Геометрия - наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение
геометрических фигур. Она возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Постепенно создавалась геометрическая наука. Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. В своей книге Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников. Он описывает структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра, додекаэдра в данном порядке. Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. С древнейших времен представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.
Цель выпускной квалификационной работы – найти 120 элементов группы симметрий икосаэдра и определить условия замкнутости базисных алгебраических поверхностей конечной группы симметрии H_3.
Задачи предоставленной работы определены поставленной целью и включают следующие:
- изучение платоновых тел и их симметрии;
- исследование ортогональной симметрии икосаэдра;
- нахождение замкнутости базисных поверхностей группы H_3.
Объект исследования – икосаэдр, его группа симметрий H_3 и поверхности инвариантные относительно группы H_3.
Работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников литературы. В первой главе рассматривается история и понятие многогранников. Вторая глава посвящается изучению Платоновых тел. В третьей главе приведены основные понятия алгебры. В четвёртой главе рассмотрена симметрия Платоновых тел. В пятой главе подробно исследуется ортогональная симметрия икосаэдра и находятся все элементов группы симметрий икосаэдра. В шестой главе находятся достаточные условия замкнутости базисных поверхностей группы H_3. В заключении подводятся итоги исследования. В списке литературы приведены источники, которые использованы при написании работы. Приложения объясняют и вносят дополнения в основной текст работы.
В работе были использованы данные учебных пособий, периодическая литература в сфере алгебры и геометрии.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………….4
Глава1. История и понятие многогранников. ………………………………………..6
Глава 2. Платоновы тела ……………………………………………........................13
§1. Тетраэдр…………………………………………………………………………13
§2. Куб……………………………………………………………………………….14
§3. Октаэдр………………………………………………………………………….16
§4. Икосаэдр………………………………………………………………………...16
§5. Додекаэдр……………………………………………………………………….18
Глава 3.Основные понятия алгебры ………………………………………………..19
§1. Поле ……………………………………………………………………………...19
§2. Линейное пространство.. ……………………………………………………….20
§3. Евклидово пространство. . ……………………………………………………...21
§4. Группа. …………………………………………………………………………..22
§5. Кольцо. …………………………………………………………………………..23
§6. Алгебра. …………………………………………………………………………24
§7. Идеал. ……………………………………………………………………………25
§8. Инвариант. ………………………………………………………………………26
Глава 4. Симметрия платоновых тел. ……………………………………………...27
Глава 5. Ортогональная симметрия ………………………………………………..34
§1. Отражение………………………………………………………………………34
§2. Золотое сечение………………………………………………………………..37
§3. Элементы группы H_3 ……………………………………………………………41
Глава 6. Замкнутость базисных поверхностей ………………………………...248
Заключение………………………………………………………………………...262
Список использованных источников…………………………………………….263
Приложение 1. Картина Сальвадора Дали "Тайная вечеря"………………….265
Приложение 2. Базисные поверхности шестого порядка……………..…………..266
Приложение 3. Базисные поверхности десятого порядка..………………….........269
Список использованных источников.
Аржанцев И. В. Градуированные алгебры и 14-я проблема Гильберта: Учебное пособие. — М.: МЦНМО, 2009. — 64 с.
Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников//Библиотека «Математическое просвещение», 2000.Выпуск 5.Приложение.— 27-29 с.
Игнатенко В.Ф. Геометрия алгебраических поверхностях с симметриями. Итоги науки и техники. Сер. Пробл. Геом. 11.,1980. — 203-240 с.
Игнатенко В.Ф. Об инвариантах конечных групп, порожденных отражениями, Матем. сб.120(162), № 4,1983. — 556–568 с.
Игнатенко В.Ф. Некоторые вопросы геометрической теории инвариантов групп, порожденных ортогональными и косыми отражениями. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. Геом. 16.,1984. — 195-229 с.
Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решение уравнений пятой степени. — М., Наука,1989. — 336 с.
Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М., Наука, 1966. — 648 с.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). — М: Высшая школа, 1983. —159-160 с.
Ларин С. В. Алгебра и теория чисел. Группы, кольца и поля : учебное пособие для академического бакалавриата / С. В. Ларин. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 160 с.
Смирнов Е. Ю. Группы отражений и правильные многогранники.–– М.: МЦНМО, 2009. –– 48 с.
Терновский В.А, Бичулова М.С. Замкнутость базисных поверхностей, инвариантных относительно групп A_3 и B_3. Динамические системы, 2019, том 9(37), №1, 67-72 с.
Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра:учеб.пособие/А.Е.Умнов.- 3-е изд.,испр. и доп. — М.:МФТИ,2011. —544 с.
Flatto L., Regular holytopes and harmonic polynomials. Canad. J. Math.,1970. — 22 с.,7-21с.
https://videouroki.net/video/31-eliemienty-simmietrii-pravil-nykh-mnoghoghrannikov.html
http:///encicl/articles/15/1001550/1001550A.html
http://pravmn.narod.ru/tetr.html
http://pravmn.narod.ru/kub.html
18.http://pravmn.narod.ru/okto.html
19.http://pravmn.narod.ru/icos.html
20.http://pravmn.narod.ru/dod.html
21.https://infourok.ru/issledovatelskiy-referat-na-temu-v-mire-mnogogrannikov- 1169630.html
22.http://mathscinet.ru/files/StaxovAA.pdf
Заключение.
В дипломной работе подробно изучено строение всех Платоновых тел. Найдены в явном виде элементы группы симметрий икосаэдра: 30 второго порядка, 29 третьего порядка и 60 пятого порядка. Продолжена, начатая в [11], работа по изучению строения базисных поверхностей инвариантных относительно конечных групп отражений в трехмерном евклидовом пространстве. Найдены достаточные условия замкнутости базисных поверхностей шестой и десятой степени алгебры инвариантов группы симметрии икосаэдра. В приложении 2 и 3 поверхности построены с помощью программы Surface и сайта https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/3d/.
