Решение задач по линейной алгебре скачать бесплатно
Решить матричное уравнение с помощью обратной матрицы. Сделать проверки обратной матрицы и матрицы-решения.
Решение.
Вычислим определитель матрицы А:
detA = =2*(2*2 - 1*1) - 1*(1*2 - 1*1) + 1*(1*1 - 2*1) = 4
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе части уравнения на A-1: A-1·A·X = A-1·B, тогда получим E·X = A-1·B, или X = A-1·B.
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
Алгебраические дополнения A11=
A12=, A13=
A21= A22=
A31= A33=
A32= A23=
Обратная матрица A-1.
Матрицу Х ищем по формуле: X = A-1·B
Ответ:
Проверка :
2. Методом Гаусса исследовать системы линейных алгебраических уравнений на совмесность, найти их общее и часное решение, определить фундаментальную систему решений соответствующих однородных систем, сделать проверки.
Составим расширенную матрицу системы.
Теперь исходную систему можно записать как:
x2 = [4 - (2x3 + 5x4)]/3
x1 = [1 - ( - x2 + x3 - x4)]/1
x3,x4 будут свободные переменные, так как через них выразить можно выразить все остальные переменные.
Приравняем переменные x3,x4 к 0
3 . Методом Гаусса исследовать системы линейных алгебраических уравнений на совмесность, найти их общее и часное решение, определить фундаментальную систему решений соответствующих однородных систем, сделать проверки.
Составим расширенную матрицу системы.
Теперь исходную систему можно записать как:
x3 = [32 - (120x4)]/(-96)
x2 = [4 - ( - 63x3 + 66x4)]/34
x1 = [1 - (11x2 + 23x3 - 16x4)]/10
Свободная переменная x4 и через нее можно выразить остальные переменные.
4. . Для матрицы А найти: собственные значения
Составим характеристическое уравнение:
(1 - l)((2 - l)(3 - l)+4) - 2(-6 + 4l) = 0
(1 - l)((6-3l-2l + l2)+4) - 2(-6 + 4l) = 0
(1 - l)((6- 5l + l2)+4) +12 - 8l = 0
-l3 +6l2- 3 l-10 = 0
l1 = -1; l2 = 2; l3 = 5;
5. Для матрицы А найти собственные векторы.
Для l1 = -1:
Если принять х3 = 1, получаем х1 = 2, х2 = 2
Собственные векторы ×t, где t – параметр.
Для l2 = 2:
Если принять х3 = 1, получаем х1 = -1, х2 =
Собственные векторы ×t, где t – параметр.
Для l3 = 5:
Если принять х3 = 1, получаем х1 = , х2 =
Собственные векторы ×t, где t – параметр.
6. На векторах = (1,1, 3), = (1, 2, 2), = (0, 2, 1) построен параллелепипед. Используя произведение векторов: а) скалярное, б) векторное и в) смешанное вычислить
- пеоекцию вектора на направление вектора
- площадь грани, образованную векторами и
- высоту параллелепипеда, опущенную на грань, образованную векторами и
= (1,1, 3), = (1, 2, 2), = (0, 2, 1)
= (1-2*0, 2-2*2, 2-2*1) = (1,-2, 0)
Найдем скалярное произведение этих векторов
a · = 1 * 1 + 1 * -2 + 3 *0 = -1
Найдем модуль вектора =
Проекция вектора на направление вектора
Площадь грани, образованную векторами и
= (1,1, 3), = (1, 2, 2), = (0, 2, 1)
S =3
Высоту параллелепипеда, опущенную на грань, образованную векторами и
1*2*1+1*2*0+3*1*2-3*2*0- 1*1*1-1*2*2 =
С другой стороны, объём равен
Площадь грани из предыдущей задачи равна S = 3
7. В треугольнике с вершинами А(2;-3), В(6;5), С(-3;1), найти координаты проекции точки А на медиану, проведённую из точки В, а также расстояние от точки А до прямой ВС. Аналитическое решение проверить графически.
Решение.
Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(-1/2;-1)
Медиана BМ проходит через точки B(6;5) и М(-1/2;-1), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
13y -12x +7 = 0
Нормальный вектор медианы ВМ (-12,13), таким же будет и нормальный вектор прямой АN.
Мы знаем направляющий ветор прямой и координаты точки А(2,-3) следовательно сможем написать уравнение прямой или 13x-26=-12y-36
13x-26+12y+36 =0
13x+12y+10 =0
Решая систему, получим координаты проекции точки А на медиану
Далее находим расстояние от точки А до прямой ВС
Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Уравнение прямой BC -
или 9y -4x - 21 = 0 и точка А(2;-3),
Ответ: расстояние от точки А до прямой ВС - , проекции точки А на медиану
8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через прямые:
Найти угол между этой плоскостью и плоскостью x+y-2=0
Решение..
Прямые и параллельны, так как их направляющие векторы пропорциональны.
Координаты точки принадлежащей прямой
(0, -1 ,2) а для второго уравнения (1,1,5)
Чтобы написать уравнение плоскости нужны три точки, третью точку найдём, записав любое из уравнений параметрическом виде, тогда точка принадлежащая уравнению будет иметь координаты (1,0,3)
Теперь мы можем получить уравнение плоскости, проходящей через три точки , которое является искомым уравнением плоскости, проходящей через две заданные прямые:
Для вычисления угла φ между плоскостями воспользуемся формулой:
Уравнение первой плоскости x+y-2=0 и второй -x+2y-z=0
Ответ: Уравнение плоскости - -x+2y-z=0, угол между плоскостями arcos
9. Привести уравнение кривой к каноническому виду, определить её тип, расположение на плоскости (параметры, смещение), построить кривую и проверить координаты точек её пересечения с осями координат:
Дано уравнение кривой:
4x2 + y2 - 2y - 3 = 0
Решение.
4x2 + y2 - 2y - 3 = 0
4x2 + (y2-2*1y + 1) -1•1 =4x2 +(y-1)2-1=0
Можно записать
4x2 +(y-1)2-1=0
Разделим все выражение на 4
. Полуоси эллипса: a = 2;b = 1
Данное уравнение определяет эллипс с центром в точке:
C(0; 1) .. Фокусы эллипса:
С учетом центра, координаты фокусов равны:
Тогда эксцентриситет будет равен:
Вследствие неравенства c < a эксцентриситет эллипса меньше 1.
10. Привести уравнение поверхности к каноническому виду, определить её тип в пространстве (ориентация, смещение). Изобразить эскиз этой поверхности.
Составляем матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы
Столбец коэффициентов линейной формы -16, -6 ,24
В результате получили, что матрица квадратичной формы диагональная,
В заданном уравнении имеются линейные члены всех неизвестных, а также квадраты неизвестных . Дополняем члены с этими неизвестными до полных квадратов
Коефициенты A11 =4, A22 =-3, A33 =12, a1 =-8, a2 =-3, a3 =12, a0 =24
Вычислим ортогональные инварианты
Так как уравнение задаёт одноплосный гиперболоид.
