ТОПОЛОГИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ БИЛЛИАРДОВ НА ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО С ГУКОВСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

1. Введение

1.1 Интегрируемые биллиарды
Математический биллиард - это движение материальной точки на плоскости в области, ограниченной кусочно-гладкой кривой. Исследованиями в области интегрируемости та- ких систем в зависимости от типа границы такой области занимались многие учёные. В частности, интегрируемость биллиарда в эллипсе на евклидовой плоскости была доказана Дж.Д. Биркгофом в работе [1].
При изучении интегрируемости задачи о геодезических на �-мерном эллипсоиде возни- кает интересный геометрический факт, отражённый в знаменитой теореме Якоби-Шаля (см. книгу [8]).
Теорема Якоби-Шаля. Касательные прямые к геодезической линии квадрики в R�+1,
 
проведённые во всех точках геодезической, касаются кроме этой квадрики ещё �            1 кон- фокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической.
Устремляя к нулю одну из полуосей эллипсоида в R3, получим важное свойство траек-
торий эллиптического биллиарда: отрезки прямых, из которых состоит траектория (или их продолжения), касаются одной и той же софокусной с эллипсом коники.
 
В том случае, когда граница биллиарда образована из дуг софокусных квадрик, пере- секающихся под углом, равным