вариант 1
Описание работы
Работа пользователя Ольга
1)Функции многих переменных. Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл, его приложения
Задание 101
Найти частные производные I порядка функции
Решение:
Так как z зависит от двух переменных x и y, дифференцируем её по каждой из них, т.е. находим две частные производные и .
При этом нужно помнить, что при дифференцировании по x, переменная y считается постоянной, а при дифференцировании по y, постоянной считается x . Дифференцирование производится по тем же правилам и таблицам, что и для функции одной переменной.
Задание 111
Даны функция z = F(x;y), точка А(x0;y0) и вектор а. Найти:
1) grad z в точке А, т.е. ; 2) производную функцию z в точке А по направлению вектора а, т.е. .
Решение:
1) ;
;
; т.е.
2) ; ; .
Положительный знак производной по направлению указывает на то, что в данном направлении функция возрастает.
Ответ: 1) ; 2) Задание 121
Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах результаты проверить дифференцированием:
Задание 131
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
Решение:
Так как в интеграле верхний предел бесконечный, то он является несобственным интегралом I рода. Любой несобственный интеграл вычисляется путем предельного перехода:
Если предел конечный, то несобственный интеграл сходится и имеет конечное значение. Если предел не существует или бесконечный, то несобственный интеграл расходится.
Вычисляемый предел конечный, следовательно, несобственный интеграл сходится и его значение равно .
Ответ: интеграл сходится; Задание 141
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 и прямой y = 2x. Сделать чертёж.
Решение:
Строим чертеж, расставляем пределы интегрирования и проводим вычисления.
Находим координаты точек A и O.
Решаем систему:
Искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций.
S = SотАВ – SonAB
Ответ: 1 1/3 кв. ед.
Контрольная работа № 4
Дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы
Задание 151
Решить дифференциальные уравнения.
Задание 161
Найти общее решение дифференциальных уравнений.
y’’+py’+qy=f(x).
Определенный интеграл, его приложения
Задание 101
Найти частные производные I порядка функции
Решение:
Так как z зависит от двух переменных x и y, дифференцируем её по каждой из них, т.е. находим две частные производные и .
При этом нужно помнить, что при дифференцировании по x, переменная y считается постоянной, а при дифференцировании по y, постоянной считается x . Дифференцирование производится по тем же правилам и таблицам, что и для функции одной переменной.
Задание 111
Даны функция z = F(x;y), точка А(x0;y0) и вектор а. Найти:
1) grad z в точке А, т.е. ; 2) производную функцию z в точке А по направлению вектора а, т.е. .
Решение:
1) ;
;
; т.е.
2) ; ; .
Положительный знак производной по направлению указывает на то, что в данном направлении функция возрастает.
Ответ: 1) ; 2) Задание 121
Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах результаты проверить дифференцированием:
Задание 131
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
Решение:
Так как в интеграле верхний предел бесконечный, то он является несобственным интегралом I рода. Любой несобственный интеграл вычисляется путем предельного перехода:
Если предел конечный, то несобственный интеграл сходится и имеет конечное значение. Если предел не существует или бесконечный, то несобственный интеграл расходится.
Вычисляемый предел конечный, следовательно, несобственный интеграл сходится и его значение равно .
Ответ: интеграл сходится; Задание 141
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 и прямой y = 2x. Сделать чертёж.
Решение:
Строим чертеж, расставляем пределы интегрирования и проводим вычисления.
Находим координаты точек A и O.
Решаем систему:
Искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций.
S = SотАВ – SonAB
Ответ: 1 1/3 кв. ед.
Контрольная работа № 4
Дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы
Задание 151
Решить дифференциальные уравнения.
Задание 161
Найти общее решение дифференциальных уравнений.
y’’+py’+qy=f(x).
