Вычислительная математика
Описание работы
Работа пользователя Yasherowa
Оглавление
1. Теоретическая часть. 3
1.1 Уравнение теплопроводности. 3
1.2 Явная разностная схема. 5
1.3 Неявная разностная схема. 6
2. Практическая часть. 7
2.1. Численное интегрирование функций. 7
2.2. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 23
2.3. Решение уравнения теплопроводности. 28
2.4. Решение стационарного уравнения. 34
2.5. Численные методы линейной алгебры.. 38
Список литературы……………………………………………………….41
Наибольшее распространение в решениях получили модели, основанные на методе сеток. Сущность метода заключается в том, что исследуемая непрерывная функция заменяется совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках-узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка является дискретной моделью исследуемой непрерывной функции.
Применение метода сеток позволяет свести решение задачи к решению системы алгебраических уравнений, что легко осуществляется на ЭВМ. При решении теплофизических задач наибольшее применение получили следующие виды метода сеток – метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ).
Метод конечных разностей (МКР). Предусматривает разбиение области определения функции на отдельные равные элементы. Рассмотрим, например, распределение температуры вдоль стержня малого сечения (рис.2.3.1).........
Приближенное интегрирование – общие замечания.
Метод прямоугольников. Расчетные формулы. Схема.
Шаблон интегрирования содержит один узел, интерполяционный многочлен имеет нулевую степень. Узел выбирают в середине отрезка (возможен выбор узла и в каком-нибудь конце отрезка, но точность при этом будет хуже). Узел Х0 на отрезке [di,di+1] задается формулой Х0=(di+di+1)/2=a+(i+0.5)*h, a интеграл заменяется на выражение h*f(X0).
Квадратурная формула метода прямоугольников имеет вид:...........
Решение уравнения теплопроводности
Уравнение теплопроводности.
Численные методы описания тепловых процессов находят все более широко применяются в связи с развитием вычислительной техники.
Наибольшее распространение в решениях получили модели, основанные на методе сеток. Сущность метода заключается в том, что исследуемая непрерывная функция заменяется совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках-узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка является дискретной моделью исследуемой непрерывной функции.
Применение метода сеток позволяет свести решение задачи к решению системы алгебраических уравнений, что легко осуществляется на ЭВМ. При решении теплофизических задач наибольшее применение получили следующие виды метода сеток – метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ).
Метод конечных разностей (МКР). Предусматривает разбиение области определения функции на отдельные равные элементы. Рассмотрим, например, распределение температуры вдоль стержня малого сечения (рис.2.3.1).........
Решение стационарного уравнения
Стационарные уравнения. Уравнение Лапласа.
Уравнение с частными производными вида:.........
Численные методы линейной алгебры
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.
Это метод последовательного исключения переменных. Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т.е. aij=0 при i>j. Аналогично, матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше главной диагонали (i<="" p="">
Прямой ход.
Это основной этап решения системы уравнений ............
Список литературы
1. Теоретическая часть. 3
1.1 Уравнение теплопроводности. 3
1.2 Явная разностная схема. 5
1.3 Неявная разностная схема. 6
2. Практическая часть. 7
2.1. Численное интегрирование функций. 7
2.2. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 23
2.3. Решение уравнения теплопроводности. 28
2.4. Решение стационарного уравнения. 34
2.5. Численные методы линейной алгебры.. 38
Список литературы……………………………………………………….41
- Теоретическая часть
-
- Уравнение теплопроводности.
Наибольшее распространение в решениях получили модели, основанные на методе сеток. Сущность метода заключается в том, что исследуемая непрерывная функция заменяется совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках-узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка является дискретной моделью исследуемой непрерывной функции.
Применение метода сеток позволяет свести решение задачи к решению системы алгебраических уравнений, что легко осуществляется на ЭВМ. При решении теплофизических задач наибольшее применение получили следующие виды метода сеток – метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ).
Метод конечных разностей (МКР). Предусматривает разбиение области определения функции на отдельные равные элементы. Рассмотрим, например, распределение температуры вдоль стержня малого сечения (рис.2.3.1).........
- Практическая часть
Приближенное интегрирование – общие замечания.
Метод прямоугольников. Расчетные формулы. Схема.
Шаблон интегрирования содержит один узел, интерполяционный многочлен имеет нулевую степень. Узел выбирают в середине отрезка (возможен выбор узла и в каком-нибудь конце отрезка, но точность при этом будет хуже). Узел Х0 на отрезке [di,di+1] задается формулой Х0=(di+di+1)/2=a+(i+0.5)*h, a интеграл заменяется на выражение h*f(X0).
Квадратурная формула метода прямоугольников имеет вид:...........
Решение уравнения теплопроводности
Уравнение теплопроводности.
Численные методы описания тепловых процессов находят все более широко применяются в связи с развитием вычислительной техники.
Наибольшее распространение в решениях получили модели, основанные на методе сеток. Сущность метода заключается в том, что исследуемая непрерывная функция заменяется совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках-узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка является дискретной моделью исследуемой непрерывной функции.
Применение метода сеток позволяет свести решение задачи к решению системы алгебраических уравнений, что легко осуществляется на ЭВМ. При решении теплофизических задач наибольшее применение получили следующие виды метода сеток – метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ).
Метод конечных разностей (МКР). Предусматривает разбиение области определения функции на отдельные равные элементы. Рассмотрим, например, распределение температуры вдоль стержня малого сечения (рис.2.3.1).........
Решение стационарного уравнения
Стационарные уравнения. Уравнение Лапласа.
Уравнение с частными производными вида:.........
Численные методы линейной алгебры
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.
Это метод последовательного исключения переменных. Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т.е. aij=0 при i>j. Аналогично, матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше главной диагонали (i<="" p="">
Прямой ход.
Это основной этап решения системы уравнений ............
Список литературы
- Воеводин В.В. Вычислительная математика и структура алгоритмов [Электронный ресурс]: учебник/ Воеводин В.В.— Электрон. текстовые данные.— Москва: Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 2010.— 168 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/13042.html.— ЭБС «IPRbooks»
- Учебно-методическое пособие для выполнения контрольной работы по дисциплине “Математика”. Раздел “Вычислительная математика” [Электронный ресурс]/ — Электрон. текстовые данные.— Санкт-Петербург: Российский государственный гидрометеорологический университет, 2000.— 56 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/17929.html.— ЭБС «IPRbooks»
- Трошина Г.В. Решение задач вычислительной математики с использованием языка программирования пакета MathCad [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Трошина Г.В.— Электрон. текстовые данные.— Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2009.— 86 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/45432.html.— ЭБС «IPRbooks»..................
(Схемы, таблицы, формулы все есть в контрольной работе)
