Задачи по главе «Функции многих переменных» Тема 1

1. Нарисовать ОДЗ функции 2. Нарисовать линию уровня 1/9 для функции u=1/(x2 +y2 ) 3. Найти частные производные первого порядка функции 4. Найти полное приращение и дифференциал функции в точке a=2, b=1. Вычислить эти величины при условии 5. Показать, что функция удовлетворяет уравнению теплопроводности ( -- температура стержня в точке в момент t.) 6. Найти касательную плоскость и нормальный вектор к графику функции в точке . 7. Найти точки экстремума функции двух независимых переменных : А) б) (x>0,y>0) 8. Вычислить в точке М0(-2,3) градиент и производную функции по направлению 9. Найти дифференциал второго порядков функции 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области . 11. Русла двух рек в пределах некоторой области приближенно представляют параболу и прямую . Требуется соединить данные реки прямолинейным каналом наименьшей длины. Через какие точки его провести? 12. Если в электрической цепи с сопротивлением R течёт ток I, то количество тепла, выделяющегося в единицу времени пропорционально I2 R. Определить, как следует разветвить ток I на токи при помощи n проводов, сопротивление которых равны так, чтобы выделение тепла было наименьшим.